金融研究 第23巻別冊第1号 (2004年6月発行)

Forward Backward Stochastic Differential Equationsに関する一考察

吉田 敏弘

 本稿で考察の対象となるBackward Stochastic Differential Equations (BSDE's:バックワード確率微分方程式)、Forward Backward Stochastic Differential Equations(FBSDE's:フォワード・バックワード確率微分方程式)の概念を簡単にまとめると、時間の経過とともに前進するプロセス(forward process)に対して、ある時点における目的関数を与え、これを最適化するように制御アルゴリズムを構成する。この制御アルゴリズムを実際にフォワード・プロセスに当てはめて目的関数を満足するように構成されたプロセスをバックワード・プロセス(backward process)と呼ぶ。特に、プロセスが確率微分方程式で表現される場合に、バックワード・プロセスをBSDE'sと呼び、さらに、フォワード・プロセスがバックワード・プロセスの影響を受ける場合に両者をあわせてFBSDE'sと呼ぶ。
 本稿では、BSDE's、FBSDE'sについて簡単に整理するとともに、これらの表現形式が主要な役割を果たす数理ファイナンスの分野、特に、Harrison and Pliska[1981]の枠組みで議論できる問題群において、その適用例と問題の拡張に伴う表現形式の拡張についてまとめた。

キーワード:BSDE's、FBSDE's、最適ポートフォリオ問題、 派生証券の価格付け、金利の期間構造


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